Dgl 2 Ordnung Beispiel Essay

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Beispiel essay Gattungsnamen

Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDG, PDGL oder PDGln, beziehungsweise PDE für englischpartial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält. Solche Gleichungen dienen der mathematischen Modellierung vieler physikalischer Vorgänge. Die Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen ist für lineare Gleichungen weitgehend erforscht, für nichtlineare Gleichungen enthält sie noch viele Lücken. Zur praktischen Berechnung von Lösungen werden in der Regel numerische Verfahren herangezogen.

Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Manche physikalische Prozesse lassen sich beschreiben, indem man die Veränderung einer Größe bezüglich einer einzelnen Variable betrachtet. So wird beispielsweise die Bewegung eines Massenpunktes im Raum durch die Bewegungsgleichung beschrieben, die nur Ableitungen nach der Zeit (nämlich Geschwindigkeit und Beschleunigung) enthält. Solche Gleichungen nennt man gewöhnliche Differentialgleichungen.

Viele andere physikalische Prozesse lassen sich aber nur dann beschreiben, wenn man die Veränderung einer Größe bezüglich mehrerer voneinander unabhängigen Variablen betrachtet. Fällt beispielsweise in regelmäßigen Abständen ein Wassertropfen auf eine Wasseroberfläche, so entsteht eine Kugelwelle, ähnlich wie im nebenstehenden Bild. Die entstehende Welle hängt sowohl von der Zeitableitung (Geschwindigkeit der Welle) als auch von der Raumableitung (Profil der Welle) ab. Da Ableitungen nach mehreren Variablen auftauchen, ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs notwendig.

Eine sehr einfache partielle Differentialgleichung ist die lineare Transportgleichung in einer Raumdimension. Sie hat die Form

mit einem konstanten reellen Parameter . Die gesuchte Funktion ist von zwei Variablen abhängig, wobei üblicherweise den Ort und die Zeit bezeichnet. Nehmen wir an, dass die Funktion zu einer gewissen Zeit (etwa zu der Zeit ) bekannt ist. Es gelte also für alle im Definitionsbereich von eine Beziehung der Form , wobei eine beliebig vorgegebene, mindestens einmal differenzierbare Funktion sei (Anfangsbedingung). Dann ist für beliebige Zeiten die Lösung der linearen Transportgleichung durch gegeben.[1] Diese Gleichung bedeutet nichts anderes, als dass die Anfangsdaten in unveränderter Form mit der Geschwindigkeit in Richtung der positiven x-Achse verschoben („transportiert“) werden (längs der Charakteristik der Gleichung), siehe nebenstehendes Bild. Ein Anwendungsbeispiel wäre der Transport eines im Wasser gelösten Stoffes mit der Strömung des Wassers, also zum Beispiel der Transport von Schadstoffen in einem Fluss (wobei die Diffusion des Stoffes vernachlässigt wird).

Weitere Beispiele partieller Differentialgleichungen sind die Poisson-Gleichung bzw. die Laplace-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und Burgersgleichung. Für die Anwendungen von großer Bedeutung sind die Euler- bzw. die Navier-Stokes-Gleichungen, die Maxwell-Gleichungen, die Gleichungen der Magnetohydrodynamik, die Schrödingergleichung und die Korteweg-de-Vries-Gleichung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung (oder ein Gleichungssystem) für eine oder mehrere unbekannte Funktionen, die folgende Kriterien erfüllt:

  • die unbekannte Funktion hängt von mindestens zwei Variablen ab (wenn sie nur von einer Variable abhängt, bezeichnet man sie als gewöhnliche Differentialgleichung, oder kurz nur Differentialgleichung)
  • in der Gleichung kommen partielle Ableitungen nach mindestens 2 Variablen vor
  • in der Gleichung kommen nur die Funktion sowie deren partielle Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet, vor.

Die implizite Form einer partiellen Differentialgleichung für eine Funktion , die von zwei Variablen und abhängt, lautet

wobei eine beliebige Funktion ist. Im mehrdimensionalen Fall ( beschreibt hier einen Vektor) schreibt man auch

mit den partiellen Ableitungen vom Grad .

Gleichungen, in denen neben partiellen Ableitungen auch Integrale auftreten, nennt man Integro-Differentialgleichungen.

Einteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Partielle Differentialgleichungen können nach verschiedenen Kriterien eingeteilt werden. Das Lösungsverhalten und damit die theoretische und numerische Behandlung der so eingeteilten Gleichungen unterscheiden sich je nach verwendetem Kriterium erheblich voneinander.

Anzahl der Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt, nennt man die Ordnung. Beispielsweise treten in einer Gleichung erster Ordnung nur partielle erste Ableitungen auf. Im Allgemeinen sind Gleichungen höherer Ordnung schwieriger zu lösen als Gleichungen niedrigerer Ordnung.[2]

Anzahl der Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei vielen partiellen Differentialgleichungen spielt die Anzahl der Variablen eine Rolle bei den Möglichkeiten der theoretischen Untersuchung und der numerischen Lösung. So konnten etwa im Fall der Navier-Stokes-Gleichungen in zwei Raumdimensionen weitreichende Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen werden, während die Frage nach Existenz und Eindeutigkeit glatter Lösungen im dreidimensionalen Fall offen ist. Dieses Problem wurde in die Liste der Millennium-Probleme aufgenommen.

Lineare und nichtlineare Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man spricht von einer linearen partiellen Differentialgleichung, falls die unbekannte Funktion sowie alle auftretenden Ableitungen linear vorkommen. Dies bedeutet, dass die Koeffizientenfunktionen vor der unbekannten Funktion bzw. ihrer Ableitungen nur von den Veränderlichen abhängen (und nicht von der Funktion selbst oder ihrer Ableitungen). Eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in zwei Variablen hat also die folgende allgemeine Form:


Man spricht von einer semilinearen Gleichung, falls alle Ableitungen von höchster Ordnung linear auftreten, dies aber nicht mehr für die Funktion und Ableitungen niedriger Ordnung gilt.

Man spricht von einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung, falls die Koeffizientenfunktionen vor der höchsten Ableitung zusätzlich von niedrigeren Ableitungen und der unbekannten Funktion abhängen.

In allen anderen Fällen spricht man von einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen kann man durch Ausdifferenzieren immer in eine quasilineare Form überführen. Nichtlineare Gleichungen beschreiben in aller Regel weitaus komplexere Phänomene als lineare Gleichungen, wie beispielsweise turbulente Strömungen (im Vergleich zu Kriechströmungen). Nichtlineare Probleme sind sowohl aus theoretischer wie auch aus numerischer Sicht schwieriger zu behandeln als lineare Probleme. Ein einfaches Beispiel einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung ist die Burgersgleichung:


Da ihre Lösungen vollständig bekannt sind, dient sie häufig als Modellproblem für allgemeinere nichtlineare Gleichungen, wie etwa der Euler-Gleichungen.

Einteilung nach Grundtypus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Häufig werden partielle Differentialgleichungen einem der drei Grundtypen elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch zugeordnet. Diese Klassifikation ist nicht erschöpfend; es kann also nicht jede Gleichung einem dieser Typen zugeordnet werden. Sie ist aber sinnvoll, da sehr viele in der Praxis auftretende Gleichungen in dieses Schema fallen und die drei Grundtypen fundamental unterschiedliche Eigenschaften besitzen. Die Klassifikation wird zunächst für den wichtigen Fall einer einzelnen Gleichung 2. Ordnung beschrieben. Beispiele und Eigenschaften der Grundtypen werden im Abschnitt Grundtypen partieller Differentialgleichungen erläutert.

Gleichungen 2. Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Beispiel für die Einteilung in die drei Grundtypen elliptische, parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen betrachten wir die allgemeine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung mit zwei Variablen

und definieren . Gilt nun

  • , so heißt die Gleichung elliptisch im Punkt ,
  • , so heißt die Gleichung parabolisch im Punkt ,
  • , so heißt die Gleichung hyperbolisch im Punkt .

Bei dieser Klassifizierung werden nur die Koeffizientenfunktionen der höchsten Ableitungen betrachtet. Da die Koeffizientenfunktionen , , von und abhängen, hängt der Typ der Differentialgleichung vom Ort ab.

Mit der obigen Definition ergibt sich die Elliptizität der Poisson-Gleichung, die Parabolizität der Wärmeleitungsgleichung und die Hyperbolizität der Wellengleichung. Die genannten drei Gleichungen stellen jeweils den sogenannten Normaltyp aller Gleichungen ihres Grundtyps dar.

Der Ursprung der Bezeichnungen elliptisch, parabolisch und hyperbolisch ergibt sich aus der Theorie der Kegelschnitte. Die allgemeine Kegelschnittgleichung

ist von der Struktur her ähnlich aufgebaut wie die oben angegebene lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Für die Koeffizienten , , gelten analoge Bedingungen wie oben, damit aus den entsprechenden Kegelschnitten eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel entsteht.

Die oben definierte Einteilung in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch kann man auch durch die Betrachtung der Definitheit der Koeffizientenmatrix

erhalten. Ist

  • positiv definit oder negativ definit, so heißt die Gleichung elliptisch im Punkt ,
  • positiv semidefinit oder negativ semidefinit, aber nicht definit (singulär), so heißt die Gleichung parabolisch im Punkt ,
  • indefinit (mit genau einem negativen Eigenwert), so heißt die Gleichung hyperbolisch im Punkt .

Eine lineare Gleichung zweiter Ordnung in zwei Unbekannten mit reellen, konstanten Koeffizienten lässt sich genau einem dieser Typen zuordnen. Sobald die Koeffizienten nicht konstant bezüglich sind oder die Gleichung nichtlinear ist, gibt es auch Gleichungen, die sich nicht nach diesem Schema klassifizieren lassen. Gleiches gilt für die unten beschriebenen allgemeineren Fälle.

n Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Typeinteilung anhand der Koeffizientenmatrix lässt sich auch auf Gleichungen der Ordnung 2 mit mehr als zwei Variablen übertragen. In diesem Fall erstellt man anhand der Differentialgleichung eine Matrix mit den Koeffizientenfunktionen der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung als Einträgen. In Verallgemeinerung des obigen Falls gilt: Ist

Rand- und Anfangswertprobleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lösung einer partiellen Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, bedarf es gewisser Zusatzbedingungen, sogenannter Anfangs- und/oder Randbedingungen. Im Gegensatz zu der Situation bei gewöhnlichen Differentialgleichungen führt aber nur eine dem jeweiligen Grundtyp angepasste Wahl der Anfangs- und Randbedingungen zu einem korrekt gestellten Problem. Typische Beispiele korrekt gestellter Probleme sind:

Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Methoden der Funktionalanalysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Während bei gewöhnlichen Differentialgleichungen das Problem der Existenz und der Eindeutigkeit der Lösung durch den Satz von Picard-Lindelöf in sehr befriedigender Weise gelöst ist, existiert bei partiellen Differentialgleichungen keine derart weitreichende allgemeine Lösungstheorie. Zwar garantiert der Satz von Cauchy-Kowalewskaja die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung partieller Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizientenfunktionen, aber dieses Resultat lässt sich nicht auf allgemeinere Koeffizientenfunktionen ausdehnen. Bereits für beliebig oft differenzierbare, nichtanalytische Koeffizientenfunktionen gibt es ein Gegenbeispiel (Beispiel von Lewy).[3]

Da eine befriedigende einheitliche Theorie zu partiellen Differentialgleichungen nicht existiert, teilt man diese je nach Lösungsverhalten in verschiedene Typen ein. Die verschiedenen Typen werden mit jeweils unterschiedlichen Techniken analysiert, um Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und weitere Eigenschaften der Lösungen zu erhalten. Lineare partielle Differentialgleichungen sind auch im Fall mehrdimensionaler Systeme hinreichend gut untersucht. Für nichtlineare partielle Differentialgleichungen gilt das nicht.

Bei der theoretischen Untersuchung der Lösungen von partiellen Differentialgleichungen stößt man, solange man nur nach sogenannten klassischen (d.h. hinreichend oft differenzierbaren) Lösungen sucht, sehr schnell auf große Schwierigkeiten in der mathematischen Theorie. Zudem ist in manchen Fällen (zum Beispiel bei der Beschreibung von Stoßwellen) aus physikalischen Gründen gar nicht mit der Existenz von stetigen oder differenzierbaren Lösungen zu rechnen. Aus diesen Gründen sind in der sogenannten klassischen Theorie

Darstellung einer zweidimensionalen Kugelwelle
Darstellung der Lösung der eindimensionalen Transportgleichung bei gegebenen Anfangswerten
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